ピタゴラスの定理の「面積版」についてお話しましょう．皆さんもご存知のように，平面上の直角三角形に対し，斜辺の2乗が，他の2辺の2乗の和に等 しいというのが普通のピタゴラスの定理です．これは少し考え方を変えると，次のように解釈することもできます．平面に線分を置き，それに真上と真横から （平行な）光を当てます．そのときできた影の長さをa, bとすると，もとの線分の長さの2乗はa^2+b^2に等しくなるわけです．言い換えれば，線分自身の長さがわからなくても，それは2つの影の長さから計 算することができる，というわけです．これは線分が平面上でなくて，空間に置かれているときも同様で，この場合は3方向から当てた光による影の長さから， もとの線分の長さを求めることができます（これは皆さんでもできますので，考えてみて下さい）．
では線分の長さではなくて，四角形の面積を考えるとどうなるでしょう？つまり，四角形を空間内に置いて，それに3方向から光を当てたときにできる影の面積から，もとの四角形の面積は求められるでしょうか？
答えは「Yes」です．実はピタゴラスの定理のときのように，3つの影の面積の2乗の和が，もとの四角形の面積の2乗に等しくなるのです．
このことはあまり知られていませんが，高校数学程度の知識でも証明できますので，興味のある人は挑戦してみて下さい．四角形が平行四辺形のときは，ベクトルの外積を使うときれいに証明できます．
また，上の定理は四角形でなくても，多面体や円板のように，平面の上に乗る図形ならば何でも良いことも知られています．