COBORDISME DES SURFACES PLONGÉES DANS S^{4}

par

Vincent Blanlœil & Osamu Saeki

Cet article est dedié au Professeur Yukio Matsumoto à l’occasion de son 60ième anniversaire

Résumé. — Nous montrons qu’une surface compacte sans bord et connexe plongée dans S^{4} = ∂B^{5} borde un “handlebody” de dimension 3 plongé dans B^{5} si et seulement si le nombre d’Euler de son fibré normal est nul. Nous en déduisons que deux surfaces compactes sans bord et connexes plongées dans S^{4} sont cobordantes si et seulement si elles sont difféomorphes abstraitement et les nombres d’Euler de leur fibré normal sont égaux. Nous donnons quelques applications à la réalisation dans S^{5} des décompositions de Heegaard des variétés de dimension 3, ainsi qu’une nouvelle démonstration du théorème de Rohlin sur le plongement des variétés de dimension 3 dans R^{5}.

1. Introduction

L’ensemble des classes de cobordisme orienté des n-sphères plongées dans S^{n+2} forme un groupe avec la somme connexe comme opération. Dans [16] Kervaire a montré que ce groupe est trivial pour n pair, c’est-à-dire qu’une telle n-sphère borde toujours une boule de dimension n+1 plongée dans la boule B^{n+3} de dimension n+3. En particulier, toute 2-sphère plongée dans S^{4} borde B^{3} plongée dans B^{5}.

Nous étudions ici le cobordisme des surfaces compactes sans bord plongées dans S^{4}. Par analogie à la définition classique du cobordisme des nœuds, nous définissons

Définition 1.1. — Soient M_{0} et M_{1} deux surfaces plongées dans S^{4} qui sont difféomorphes à la même surface compacte sans bord Σ abstraitement. On fixe une orientation de la sphère S^{4} et la sphère avec l’orientation inversée est notée par −S^{4}. On dit que M_{0} et M_{1} sont cobordantes s’il existe une sous-variété propre X de S^{4} × [0, 1] telle que

Mots clefs. — surface plongée, cobordisme, concordance, structure Spin, structure Pin^{−}, nombre d’Euler du fibré normal, décomposition de Heegaard.

Le second auteur souhaite remercier l’IRMA ainsi que l’Université Louis Pasteur de Strasbourg pour leur hospitalité durant la préparation de cet article.

(1) X est difféomorphe à Σ × [0, 1],

(2) ∂X = (M_{0}^{!} × {0}) ∪ (M_{1} × {1}), où M_{0}^{!} désigne le miroir de M_{0} et les variétés ∂(S^{4} ×[0, 1]) = (−S^{4} ×{0})∪(S^{4} ×{1}) sont orientées.

Lorsque M_{0} et M_{1} sont orientées, alors on dit qu’elles sont cobordantes orientées si elles sont cobordantes avec X orientée et ∂X = (−M_{0}^{!} × {0}) ∪ (M_{1} × {1}), où −M_{0}^{!} désigne le miroir M_{0}^{!} de M_{0} avec l’orientation inversée.

Remarquons que cette relation de “cobordisme” est définie pour les sous-variétés de dimension 2 de S^{4}, et non pas pour les plongements. Dans le cas des plongements, la relation correspondante est appelée “concordance” (voir la Définition 3.4).

Dans cet article nous montrons d’abord qu’une surface compacte sans bord et connexe (orientable ou non-orientable) plongée dans S^{4} est le bord d’un “handlebody” de dimension 3 plongé dans B^{5} si et seulement si le nombre d’Euler du fibré normal est nul (c.f. Corollaire 2.5). En fait, nous définissons une structure Pin^{−} pour toute surface compacte sans bord plongée dans S^{4} (voir le §2). Ensuite nous montrons que si le nombre d’Euler d’une telle surface connexe s’annule, alors pour chaque identification entre la surface et le bord d’un “handlebody” qui est compatible avec les structures Pin^{−}, il existe un plongement d’un “handlebody” dans B^{5} dont la restriction sur le bord coïncide avec cette identification (c.f. Théorème 2.3).

L’idée de la démonstration est essentiellement la même que celle de Kervaire. Nous considérons une sous-variété V de S^{4} qui admet la surface pour bord, ensuite nous faisons des chirurgies plongées sur V dans B^{5}. Pour cela, nous montrons qu’il existe un cobordisme Pin^{−} de dimension 4 avec bord qui se décompose en anses uniquement d’indice 2, entre la variété V munie de la structure Pin^{−} induite par l’unique structure Spin de S^{4}, et un “handlebody” de dimension 3 muni d’une structure Pin^{−}.

Comme corollaire du Théorème 2.3 nous obtenons alors un analogue du résultat de Kervaire, c’est-à-dire que deux surfaces (orientées) compactes sans bord et connexes sont cobordantes (orientées) si et seulement si elles sont difféomorphes abstraitement et les nombres d’Euler de leur fibré normal sont égaux (c.f. Corollaire 3.1). Nous en déduisons en particulier que le monoïde commutatif des classes de cobordisme des surfaces orientées, compactes sans bord et connexes plongées dans S^{4}, avec la somme connexe comme opération, est isomorphe au monoïde des entiers positifs (c.f. Remarque 3.2). Nous avons aussi des résultats correspondants dans le cas non-orientable et dans le cas non-orienté (c.f. Remarque 3.3). Nous étudierons aussi la différence entre cobordisme et concordance des surfaces, où la concordance est une notion de cobordisme définie pour les plongements (c.f. Définition 3.4).

Dans le §4, des résultats relatifs aux décompositions de Heegaard sont démontrés, et nous donnons une nouvelle démonstration du théorème de Rohlin [26] sur le plongement des variétés de dimension 3, orientables ou non-orientables, dans R^{5} (c.f. Corollaires 4.1, 4.2 et 4.3). Plus précisément, nous montrons que toute décomposition de Heegaard d’une variété de dimension 3 peut être réalisée par un plongement dans S^{5} = B^{5} ∪_{S^{4}} B^{5} ayant une intersection transverse avec l’équateur S^{4} = ∂B^{5} tel que S^{4} rencontre la variété plongée exactement le long de la surface de Heegaard. Nous montrons aussi que la surface plongée dans S^{4} obtenue comme section de ce découpage peut être choisie à l’avance.

Les auteurs souhaitent remercier Susumu Hirose et Seiichi Kamada pour des remarques utiles.

2. Surfaces dans S^{4} qui bordent un “handlebody” dans B^{5}

Dans ce paragraphe nous donnons une caractérisation des surfaces compactes sans bord et connexes plongées dans S^{4} = ∂B^{5} qui bordent un “handlebody” de dimension 3 plongé dans B^{5}.

Soit M une surface compacte sans bord plongée dans S^{4}. D’abord nous définissons une structure Pin^{−} sur M. Une structure Pin^{−} sur une variété X est la classe d’homotopie d’une trivialisation de T X ⊕ det T X ⊕ ε^{N} au-dessus du 2-squelette, où T X est le fibré tangent de X, det T X est le fibré (en droite) d’orientation de X et ε^{N} est le fibré vectoriel trivial de dimension N suffisamment grande. Remarquons qu’une telle structure est équivalente à une structure Spin si X est orientable.

Comme M est caractéristique, i.e. M vue comme sous-variété de S^{4} représente la classe d’homologie à coefficient Z_{2} duale à la seconde classe de Stiefel-Whitney de S^{4}, il existe une structure Spin sur S^{4} ∖ M et donc une trivialisation du fibré tangent stabilisé de S^{4} au-dessus du 2-squelette de S^{4} ∖ M qui ne s’étend à aucun 2-disque transverse à M. Puisque H^{1}(S^{4}; Z_{2}) = 0, une telle structure Spin est unique (c.f. [9, p. 115] ou [19, Theorem 2.4]). Alors cette structure Spin sur S^{4} ∖ M induit une unique structure Pin^{−} sur M (c.f. [5, Proposition 2] ou [19, Lemma 6.2]).

Pour g ≥ 0, désignons par H_{g} le “handlebody” orientable de dimension 3 de genre g; c’est-à-dire que H_{g} se décompose en une boule de dimension 3 à laquelle on a attaché g anses d’indice 1 orientables simultanément sur le bord de cette boule. De même nous désignons par I_{g} le “handlebody” non-orientable de dimension 3 avec g anses d’indice 1 non-orientables. Remarquons que le bord de H_{g} est la surface compacte sans bord orientable de genre g, notée par Σ_{g}, tandis que le bord de I_{g} est une surface compacte sans bord non-orientable de genre non-orientable 2g, notée par N_{2g}. Dans ce qui suit, nous désignerons par K_{g} le “handlebody” H_{g} dans le cas orientable et I_{g} dans le cas non-orientable.

Définition 2.1. — Soit M une surface compacte sans bord et connexe plongée dans S^{4}. On suppose que la surface M plongée dans S^{4} est connexe de genre g si elle est orientable, ou bien de genre non-orientable 2g si elle est non-orientable. Soit ψ : ∂K_{g} → M un difféomorphisme. On dit que ψ est Pin^{−} compatible si la structure Pin^{−} sur ∂K_{g} induite par ψ s’étend sur K_{g}.

Dans ce qui suit, on suppose que la sphère S^{4} est orientée. Pour une surface compacte sans bord et connexe M plongée dans S^{4}, désignons par e(M) ∈ Z le nombre d’Euler du fibré normal à M dans S^{4}. Remarquons que e(M) est toujours nul si M est orientable, par contre si M est non-orientable alors e(M) peut être non-nul. D’après la congruence de Whitney [33] nous avons e(M) ≡ 2g(M) (mod 4), où g(M) désigne le genre non-orientable de M. Donc en particulier, si e(M) = 0, alors g = g(M) est pair et M borde abstraitement le “handlebody” non-orientable I_{g/2}.

Remarque 2.2. — En fait, si M est une surface non-orientable, compacte sans bord et connexe de genre non-orientable g plongée dans S^{4}, alors on a

e(M) ∈ {−2g, 4 − 2g, 8 − 2g, …, 2g}

(c.f. [22, 15, 33]). Réciproquement, tout entier dans l’ensemble ci-dessus peut être réalisé comme le nombre d’Euler du fibré normal d’une telle surface plongée dans S^{4} (voir la construction dans la Remarque 3.3 du §3).

Si M est orientable il existe toujours une sous-variété V orientable, compacte et connexe de dimension 3 de S^{4} telle que ∂V = M (voir, par exemple, [4, Lemma 2.2]). On appelle une telle variété V hypersurface de Seifert de M. Dans le cas où M est non-orientable, une hypersurface de Seifert V (non-orientable) existe si et seulement si e(M) = 0 (c.f. [6, p. 67] ou [15]).

Pour une hypersurface de Seifert V, l’unique structure Spin sur S^{4} induit une structure Pin^{−} sur V (c.f. [5, Proposition 1]). Remarquons que cette structure induit sur le bord la structure Pin^{−} sur M définie précédemment au début de ce paragraphe (c.f. [5, §2]).

Théorème 2.3. — Soit M une surface compacte sans bord et connexe plongée dans S^{4} = ∂B^{5} et soit ψ : ∂K_{g} → M un difféomorphisme, où K_{g} est le “handlebody” de dimension 3 avec g anses d’indice 1. Alors il existe un plongement ψ̃: K_{g} → B^{5} dont la restriction sur le bord coïncide avec ψ si et seulement si e(M) = 0 et ψ est Pin^{−} compatible.

Démonstration. — D’abord supposons qu’il existe un plongement ψ̃ comme dans le théorème et soit U son image. On peut supposer que U est transverse à ∂B^{5}.

Si M est orientable, on a e(M) = 0. Si M est non-orientable, le fibré ν normal à U dans B^{5} a pour classe d’orientation celle de U. Donc la classe d’Euler e_{M} du fibré normal à M dans S^{4} est la restriction à M de la classe d’Euler e_{U} de ν, où les classes d’Euler sont considérées comme éléments des cohomologies à coefficients tordus. D’où les égalités

e(M) = ⟨e_{M}, [M]⟩ = ⟨e_{U}, i_{∗}[M]⟩ = 0,

où [M] est la classe fondamentale de M et i : M → U est l’inclusion.

Comme e(M) s’annule, une hypersurface de Seifert V pour M existe. Considérons la variété compacte sans bord V̂ = V ∪U de dimension 3 plongée dans B^{5}. Alors comme pour M ⊂ S^{4}, on peut munir V̂ d’une structure Pin^{−}, celle-ci induit la structure Pin^{−} sur V définie ci-dessus (c.f. [5, §2]). Ainsi la structure Pin^{−} sur M s’étend sur U, et le difféomorphisme ψ est Pin^{−} compatible.

Réciproquement supposons e(M) = 0 et que le difféomorphisme ψ est Pin^{−} compatible. Considérons la variété (abstraite) Ṽ = V ∪_{ψ} K_{g} obtenue en collant V et K_{g} le long de leur bord par ψ; cette variété Ṽ est compacte sans bord et connexe de dimension 3, et elle est orientable si M l’est. De plus comme ψ est Pin^{−} compatible, Ṽ admet une structure Pin^{−} dont la restriction sur V coïncide avec la structure Pin^{−} définie ci-dessus.

Lemme 2.4. — Il existe une variété Pin^{−} compacte W de dimension 4 obtenue à partir de V × [0, 1] en lui attachant des anses d’indice 2 le long de V × {1} telle que ∂W = Ṽ en tant que variétés Pin^{−}, où V × {0} est identifiée avec V ⊂ Ṽ.

Remarquons que W est orientable si M l’est.

Démonstration. — Rappelons que le groupe de cobordisme Ω_{3}^{Spin} des variétés Spin de dimension 3 est nul (voir, par exemple, [25], [16, Lemme III.7, p. 265], [9, p. 91],

[24] ou [18]). Donc dans le cas orientable, il existe une variété compacte orientable Spin W′ de dimension 4 telle que ∂W′ = Ṽ en tant que variétés Spin.

Le groupe de cobordisme Ω_{3}^{Pin^{−}} des variétés Pin^{−} de dimension 3 est lui aussi nul (c.f. [1, 19, 20]). Donc dans le cas non-orientable, il existe une variété compacte Pin^{−} W′ de dimension 4 telle que ∂W′ = Ṽ en tant que variétés Pin^{−}.

Soit C = ∂K_{g} × [0, 1] le voisinage collier de ∂K_{g} dans K_{g}, où ∂K_{g} est identifié avec ∂K_{g} × \{0\}. Posons K′_{g} = \overline{K_{g} ∖ C}. Soit p_{2} : ∂W′ = (V × \{0\}) ∪_{ψ} (∂K_{g} × [0, 1]) ∪ (K′_{g} × {1}) → [0, 1] la projection sur le deuxième facteur. Alors il existe une fonction de Morse f : W′ → [0, 1] prolongeant p_{2} sans point critique d’indices 0 ou 4 telle que ses valeurs critiques soient dans ]ε, 1 − ε[ pour un certain ε > 0 suffisamment petit. On considère une décomposition en anses associée à cette fonction de Morse dont les anses d’indice 1 sont attachées à V × [0, ε] et les co-anses des anses d’indice 3 sont attachées à K′_{g} × [1 − ε, 1].

On considère les cercles unions des âmes (resp. co-âmes) des anses d’indice 1 (resp.

3) et d’arcs propres de V × [0, ε] (resp. K′_{g} × [1 − ε, 1]). Dans le cas non-orientable, on choisit les arcs de telle manière que ces cercles conservent l’orientation de W′. Ceci est possible car V et K′_{g} = I′_{g} sont non-orientables. Donc les voisinages de ces cercles sont munis des structures Spin induites par la structure Pin^{−} de W′. De plus on peut supposer que les cercles sont disjoints.

Maintenant on modifie W′, en faisant des “chirurgies Spin” sur les cercles. D’après [31, §5], la variété Pin^{−} W ainsi construite a le même bord que W′, et de plus W se décompose uniquement avec des anses d’indice 2.

Revenons à la démonstration du Théorème 2.3. Comme les cercles où les anses d’indice 2 sont attachées préservent l’orientation de V, il existe un champ normal à V dans S^{4} le long des cercles. Donc par l’argument de Kervaire [16, Chapitre III, §3] (voir aussi [17]), on peut attacher les anses d’indice 2 de la décomposition de W ci-dessus dans B^{5}. Cela prouve que W se plonge dans B^{5} de telle manière que V × {0} corresponde à V ⊂ S^{4}, et donc ∂V = M est le bord du “handlebody” K_{g} ⊂ ∂W plongé dans B^{5}. De plus l’identification entre ∂K_{g} et M est donnée par le difféomorphisme ψ.

Corollaire 2.5. — Soit M une surface compacte sans bord et connexe plongée dans S^{4} = ∂B^{5}. Alors il existe un “handlebody” de dimension 3 plongé dans B^{5} dont le bord coïncide avec M si et seulement si e(M) = 0.

Démonstration. — D’après le Théorème 2.3, la nullité du nombre d’Euler du fibré normal est nécessaire. Réciproquement, supposons e(M) = 0. Dans le cas où M est non-orientable, par la congruence de Whitney [33], le genre non-orientable de M est pair, notons le 2g. Dans le cas orientable, désignons par g le genre de M. Alors, par le Théorème 2.3, il suffit de montrer qu’il existe au moins un difféomorphisme ψ : ∂K_{g} → M qui est Pin^{−} compatible.

Pour cela, rappelons que l’ensemble des structures Pin^{−} sur la surface M est en bijection avec les formes quadratiques H_{1}(M; Z_{2}) → Z_{4} associées à la forme d’intersection modulo 2 de la surface (c.f. [19, Theorem 3.2] ou [3])^{(1)}. D’après [19, Lemma 3.6], l’invariant de Brown, un élément de Z_{8}, de cette forme quadratique^{(2)} s’annule si et seulement si la surface Pin^{−} correspondante borde une variété Pin^{−} compacte de dimension 3. Donc l’invariant de Brown de la surface M munie de la structure Pin^{−} définie ci-dessus s’annule, puisque sa structure Pin^{−} est induite par celle d’une hypersurface de Seifert.

D’une part, on munit K_{g} d’une structure Pin^{−} quelconque, et alors la structure Pin^{−} induite sur le bord ∂K_{g} est aussi d’invariant de Brown nul.

D’autre part, une forme quadratique modulo 4 sur H_{1}(M; Z_{2}) associée à la forme d’intersection de M modulo 2 est déterminée par l’invariant de Brown à un automorphisme près (c.f. [9, pp. 99–101]).

Le lemme suivant regroupe les résultats connus pour les surfaces orientables et non-orientables.

Lemme 2.6. — Soit M une surface compacte sans bord et connexe. Alors tout automorphisme de H_{1}(M; Z_{2}) qui préserve la forme d’intersection modulo 2 est réalisé par un difféomorphisme. En outre, si M est orientée, alors tout automorphisme est réalisé par un difféomorphisme qui préserve l’orientation.

Dans le cas orientable, le groupe des tels automorphismes est engendré par des transvections (c.f. [7, Chapter 3]). Comme chaque transvection est induite par un twist de Dehn, nous avons le lemme. Le cas non-orientable est démontré dans [23] (voir aussi [21]).

Avec ce lemme il existe toujours au moins un difféomorphisme ψ : ∂K_{g} → M qui est compatible avec les structures Pin^{−}, et ceci complète la démonstration du Corollaire 2.5.

Remarque 2.7. — Pour illustrer la condition de compatibilité par rapport aux structures Pin^{−} dans le Théorème 2.3, considérons par exemple le tore T trivialement plongé dans S^{4}, i.e. T est le bord du voisinage tubulaire N = S^{1} × D^{2} d’un nœud trivial dans S^{3} ⊂ S^{4}. Remarquons que \overline{S^{3} ∖ N} est difféomorphe à D^{2} × S^{1}. Posons μ = {∗} × ∂D^{2} ⊂ T et λ = S^{1} × {∗} ⊂ T. Alors le tore T ne borde dans B^{5} aucune variété compacte H de dimension 3 telle que le générateur du noyau de l’homomorphisme H_{1}(T; Z_{2}) → H_{1}(H; Z_{2}) induit par l’inclusion soit engendré par la somme des classes representées par μ et λ, d’après [8, Lemme 1].

(1)Dans le cas orientable, ces formes se reduisent à des formes modulo 2.

(2)Dans le cas orientable, l’invariant de Brown se réduit à l’invariant de Arf et est considéré comme un élément de Z_{2}.

Remarque 2.8. — Dans le Théorème 2.3, on peut remplacer le “handlebody” par n’importe quelle variété à bord de dimension 3 de la manière suivante.

Soit M une surface orientable (resp. non-orientable), compacte sans bord et connexe plongée dans S^{4} avec e(M) = 0. Soit Z une variété orientable (resp. non-orientable) compacte et connexe de dimension 3 quelconque telle que ∂Z soit difféomorphe à M abstraitement. On dit qu’un difféomorphisme ψ : ∂Z → M est Pin^{−} compatible si la structure Pin^{−} sur ∂Z induite par ψ s’étend sur Z. Alors en utilisant le même argument que dans la démonstration du Théorème 2.3, on peut montrer que pour un difféomorphisme ψ : ∂Z → M, il existe un plongement Z ↪ B^{5} dont la restriction sur le bord ∂Z coïncide avec ψ si et seulement si ψ est Pin^{−} compatible

Remarque 2.9. — Nous pouvons comparer le Corollaire 2.5 dans le cas non-orientable avec le résultat de [12] suivant : une surface M non-orientable, compacte sans bord et connexe plongée dans S^{4} borde un “handlebody” non-orientable plongé dans S^{4} si et seulement si M est triviale (au sens de [12]) et e(M) = 0.

3. Cobordisme des surfaces plongées

Comme conséquence importante du Théorème 2.3 nous avons

Corollaire 3.1. — Soient M_{0} et M_{1} deux surfaces compactes sans bord et connexes plongées dans S^{4}. Alors elles sont cobordantes si et seulement si elles sont difféomorphes abstraitement et e(M_{0}) = e(M_{1}). Dans le cas où elles sont orientées, elles sont cobordantes orientées si et seulement si elles ont même genre.

Démonstration. — Supposons que M_{0} et M_{1} sont cobordantes. Comme dans la démonstration du Théorème 2.3, on peut montrer e(M_{0}) = e(M_{1}) et donc la nécessité est évidente. Pour montrer la suffisance, d’abord supposons que M_{0} et M_{1} sont orientées et de même genre g.

Soit B_{N} une petite boule de dimension 4 dans S^{4} et notons la boule \overline{S^{4} ∖ B_{N}} par B_{S}. À isotopies près, on peut supposer que M_{0} ∩ B_{N} = M_{1} ∩ B_{N} = Δ est un 2-disque et que (B_{N}, Δ) est difféomorphe à la paire (B^{4}, B^{2}) standard. On peut aussi supposer que M_{0} et M_{1} induisent la même orientation sur Δ.

Dans ce qui suit, on considère M_{i} plongée dans S^{4}×{i}, i = 0, 1. On note Δ×{i} ⊂ S^{4} × {i} par Δ_{i}, i = 0, 1. Notons

(3.1)  M̃ = \overline{M_{0} ∖ Δ_{0}} ∪ (∂Δ × [0, 1]) ∪ \overline{M_{1} ∖ Δ_{1}}.

On munit M̃ de l’orientation qui est compatible avec celles de −M_{0} et M_{1}. La variété M̃ est une surface orientée, compacte sans bord et connexe de genre 2g plongée dans ∂(B_{S} × [0, 1]) ≅ S^{4}. En fait, M̃ correspond à la somme connexe de −M_{0}^{!} et M_{1}. Remarquons que la structure Pin^{−} sur M̃ est compatible avec celles de −M_{0}^{!} et M_{1}.

Soit Σ_{g} la surface orientable, compacte sans bord et connexe de genre g et posons Σ_{g}^{0} = Σ_{g} ∖ Int B^{2}. Remarquons que F = Σ_{g}^{0} × [0, 1] est difféomorphe à H_{2g} et que

∂F = (Σ_{g}^{0} × {0}) ∪ (∂Σ_{g}^{0} × [0, 1]) ∪ (Σ_{g}^{0} × {1}).

Comme le groupe des difféomorphismes (qui préservent l’orientation) d’une surface orientable agit transitivement sur les structures Pin^{−} d’invariant de Brown nul (voir la démonstration du Corollaire 2.5)^{(3)}, il existe un difféomorphisme φ : M_{0} → M_{1} qui est compatible avec les orientations et les structures Pin^{−}, et tel que φ(Δ_{0}) = Δ_{1}. En particulier, il existe un difféomorphisme ∂H_{2g} ≅ ∂F → M̃ Pin^{−} compatible tel que Σ_{g}^{0} × \{i\} corresponde à \overline{M_{i} ∖ Δ_{i}}, i = 0, 1. Ainsi par le Théorème 2.3, il existe un plongement de F dans B_{S} ×[0, 1] tel que Σ_{g}^{0} ×\{i\} ⊂ ∂F corresponde à \overline{M_{i} ∖ Δ_{i}} ⊂ M̃, i = 0, 1, et tel que ∂Σ_{g}^{0} × {t} ⊂ ∂F corresponde à ∂Δ × {t} ⊂ M̃ pour tout t ∈ [0, 1].

Finalement l’union de l’image du plongement de F dans B_{S} × [0, 1] et Δ × [0, 1] donne le cobordisme orienté désiré entre M_{0} et M_{1}.

Maintenant, considérons le cas non-orientable. Supposons que e(M_{0}) = e(M_{1}) et que M_{0} et M_{1} ont même genre non-orientable g. Comme dans le cas orientable, considérons la surface M̃ définie par (3.1). La variété M̃ est une surface non-orientable, compacte sans bord et connexe de genre non-orientable 2g plongée dans ∂(B_{S} × [0, 1]) ≅ S^{4} qui correspond à la somme connexe de M_{0}^{!} et M_{1}. Ainsi on a e(M̃) = −e(M_{0}) + e(M_{1}) = 0.

D’après [8], [9, p. 98] ou [19, Theorem 6.3], le nombre d’Euler du fibré normal e(M_{i}) coïncide avec 2β(q_{i}) modulo 16, où β(q_{i}) est l’invariant de Brown de la forme quadratique q_{i} associée à la surface Pin^{−} M_{i}, i = 0, 1. Donc comme e(M_{0}) = e(M_{1}) les invariants de Brown de M_{0} et de M_{1} coïncident. Comme on a vu dans la démonstration du Corollaire 2.5 il existe un difféomorphisme entre M_{0} et M_{1} qui préserve les structures Pin^{−}. En particulier, il existe un difféomorphisme ∂I_{2g} ≅ ∂F → M̃ qui est Pin^{−} compatible tel que I_{g}^{0} × \{i\} corresponde à \overline{M_{i} ∖ Δ_{i}}, i = 0, 1, où I_{g}^{0} = I_{g} ∖ Int B^{2} et F = I_{g}^{0} × [0, 1]. Donc à l’aide du Théorème 2.3, on peut montrer que M_{0} et M_{1} sont cobordantes comme dans le cas orientable.

Remarque 3.2. — Considérons l’ensemble de toutes les classes de cobordisme des surfaces orientées, compactes sans bord et connexes plongées dans S^{4}. Cet ensemble est muni d’une structure de monoïde commutatif avec la somme connexe orientée comme opération. De plus les résultats ci-dessus montrent que ce monoïde est isomorphe à celui des entiers positifs, où l’isomorphisme est donné par le genre de la surface plongée. Ce résultat est comparable à ceux de Vogt [28, 29].

Remarque 3.3. — Soit RP_{+}^{2} (ou RP_{−}^{2}) le plan projectif trivialement plongé dans S^{4} tel que e(RP_{+}^{2}) = 2 (resp. e(RP_{−}^{2}) = −2). Pour un couple (k, ℓ) d’entiers positifs tels que k+ℓ ≥ 1, soit N_{k,ℓ} la surface plongée dans S^{4} obtenue en faisant la somme connexe de k copies de RP_{+}^{2} et ℓ copies de RP_{−}^{2}. Remarquons d’abord que les surfaces N_{k,ℓ} donnent tous les “nœuds triviaux” au sens usuel (c.f. [12]), et ensuite que e(N_{k,ℓ}) = 2(k − ℓ) et que le genre de N_{k,ℓ} est égal à k + ℓ. Les résultats ci-dessus montrent donc que toute surface non-orientable, compacte sans bord et connexe plongée dans S^{4} est cobordante à une et une seule N_{k,ℓ} pour certains entiers k et ℓ. Ainsi les surfaces N_{k,ℓ} servent de représentants complets des classes de cobordisme.

(3)Ces structures Pin^{−} correspondent exactement aux structures Spin d’invariant de Arf nul.

Comme dans la Remarque 3.2 considérons l’ensemble de toutes les classes de cobordisme des surfaces non-orientables, compactes sans bord et connexes plongées dans S^{4}, où l’on rajoute la classe de cobordisme des 2-sphères plongées dans S^{4}. Cet ensemble est muni d’une structure de monoïde commutatif avec la somme connexe comme opération (l’ajout de la classe des nœuds sphériques permet d’avoir un élément neutre.) Les résultats ci-dessus montrent que ce monoïde est isomorphe à celui des couples d’entiers positifs, et l’isomorphisme est donné par

[M] ↦ (\frac{2g(M) + e(M)}{4}, \frac{2g(M) − e(M)}{4}) ,

où [M] désigne la classe de cobordisme de la surface plongée M et g(M) le genre de M.

Si l’on considère l’ensemble de toutes les classes de cobordisme des surfaces compactes sans bord (orientables ou non-orientables) et connexes plongées dans S^{4}, alors le monoïde correspondant est isomorphe au monoïde des classes de triplets (j, k, ℓ) d’entiers positifs, où la relation d’équivalence entre deux triplets est engendrée par

(j, k, ℓ) ∼ (0, k + j, ℓ + j) pour k + ℓ ≥ 1.

Maintenant considérons les plongements des surfaces au lieux des sous-variétés de dimension 2 plongées dans S^{4}.

Définition 3.4. — Soit Σ une surface compacte sans bord et soient f_{i} : Σ → S^{4}, i = 0, 1, deux plongements. On dit que f_{0} et f_{1} sont concordants s’il existe un plongement propre Φ : Σ × [0, 1] → S^{4} × [0, 1] tel que Φ|_{Σ×{i}} = f_{i} : Σ × {i} → S^{4} × {i}, i = 0, 1.

Alors, comme corollaire du Théorème 2.3 on obtient

Corollaire 3.5. — Soit Σ une surface compacte sans bord et connexe. Alors deux plongements de Σ dans S^{4} sont concordants si et seulement si les structures Pin^{−} induites par ces plongements coïncident et les nombres d’Euler du fibré normal sont égaux.

Démonstration. — La démonstration du Corollaire 3.1 implique la suffisance. Supposons maintenant que deux plongements f_{i} : Σ → S^{4}, i = 0, 1, sont concordants. Soit s_{i} la structure Pin^{−} sur Σ induite par f_{i}, i = 0, 1. Alors comme dans la démonstration du Théorème 2.3 on peut montrer que Σ × [0, 1] est muni d’une structure Pin^{−} qui induit les structures Pin^{−} s_{i} sur Σ × {i}, i = 0, 1. Ainsi s_{0} et s_{1} coïncident.

Remarque 3.6. — Pour chaque g ≥ 1, on peut construire deux plongements f_{i} : Σ_{g} → S^{4}, i = 0, 1, qui ne sont pas concordants, où Σ_{g} désigne la surface compacte sans bord orientable de genre g. En fait, pour n’importe quel plongement f_{0} : Σ_{g} → S^{4}, on peut trouver un difféomorphisme h : Σ_{g} → Σ_{g} qui préserve l’orientation mais qui ne préserve pas la structure Pin^{−} induite par f_{0}. Alors f_{0} et f_{1} = f_{0} ∘ h fournissent un tel exemple.

Rappelons que le groupe des difféomorphismes (qui préservent l’orientation) d’une surface orientée compacte sans bord agit transitivement sur les structures Pin^{−} d’invariant de Brown nul (voir la démonstration du Corollaire 2.5). Ceci implique que le nombre des classes de concordance des plongements d’une surface orientée compacte sans bord de genre g est donné par le nombre des structures Pin^{−} d’invariant de Brown nul sur cette surface^{(4)}. Ce nombre, noté par Az_{g}, est donné par Az_{g} = 2^{g−1}(2^{g} + 1) (c.f. [14, p. 373]).

Ceci implique que les deux notions, cobordisme et concordance, sont essentiellement différentes pour les surfaces orientables de genre g ≥ 1. Remarquons que pour g = 0, ces deux notions coïncident, puisque tout difféomorphisme de S^{2} qui préserve l’orientation est isotope à l’identité (c.f. [27]).

Remarque 3.7. — Comme dans la Remarque 3.6, on peut déterminer le nombre C_{g} des classes de concordance des plongements de N_{g} dans S^{4}, où N_{g} désigne la surface compacte sans bord et non-orientable de genre non-orientable g. En effet d’après la Remarque 2.2 on a

C_{g} = ∑_{i=0}^{g} C_{g,−2g+4i}

où C_{g,e} désigne le nombre des classes de concordance des plongements de N_{g} dans S^{4} tels que les nombres d’Euler de leur fibré normal sont égaux à e. De plus d’après le Corollaire 3.5 et [19, Theorem 6.3], C_{g,−2g+4i} est égal au nombre des structures Pin^{−} sur N_{g} dont les invariants de Brown sont égaux à −g + 2i modulo 8. D’autre part, d’après [2] le nombre des structures Pin^{−} sur N_{g} dont les invariants de Brown sont égaux à β est donné par la Table 1. Ceci peut se résumer par la formule

C_{g} = \{ \begin{matrix}2^{g−2}(g + 1) & si g est impair, \\ 2^{g−2}(g + 1) + 2^{(g−2)/2} & si g est pair. \end{matrix}

Remarque 3.8. — Soit Σ_{g} la surface orientée, compacte sans bord et connexe de genre g ≥ 0. L’image f(Σ_{g}) d’un plongement f : Σ_{g} → S^{4} est triviale si f(Σ_{g}) borde un “handlebody” de dimension 3 de genre g plongé dans S^{4} (c.f. [12]). En combinant notre résultat avec celui de Hirose [11], on obtient l’équivalence entre concordance et isotopie pour les plongements dont les images sont triviales. Plus précisément, pour un plongement f_{0} : Σ_{g} → S^{4} dont l’image est triviale et un difféomorphisme h : Σ_{g} → Σ_{g} qui préserve l’orientation, les trois conditions ci-dessous sont équivalentes.

(1) Les plongements f_{0} et f_{1} = f_{0} ∘ h sont isotopes.

(2) Les plongements f_{0} et f_{1} = f_{0} ∘ h sont concordants.

(3) Le difféomorphisme h préserve la structure Pin^{−} induite par f_{0}.

Remarquons que si l’image du plongement f_{0} n’est pas triviale, alors le même résultat n’est plus valable en général. En fait, pour certains tores plongés dans S^{4}, il existe des difféomorphismes du tore qui ne se prolongent pas à ceux de S^{4} mais qui préservent la structure Pin^{−}, d’après [13, 10].

(4)Ce nombre est égal au nombre des structures Spin d’invariant de Arf nul sur la surface.

β  g : impair  g : pair
0  0  2^{(g−2)/2}(2^{(g−2)/2} + 1)
1 2^{(g−3)/2}(2^{(g−1)/2} + 1)  0
2 0 2^{g−2}
3 2^{(g−3)/2}(2^{(g−1)/2} − 1)  0
4 0 2^{(g−2)/2}(2^{(g−2)/2} − 1)
5 2^{(g−3)/2}(2^{(g−1)/2} − 1)  0
6 0 2^{g−2}
7 2^{(g−3)/2}(2^{(g−1)/2} + 1)  0

Table 1. Le nombre des structures Pin^{−} sur N_{g} avec les invariants de Brown β ∈ Z_{8}

4. Applications

Nous présentons maintenant quelques applications du Théorème 2.3 au scindement de Heegaard des variétés de dimension 3.

Tout d’abord nous donnons un résultat qui permet une nouvelle démonstration du théorème de Rohlin [26] sur le plongement des variétés de dimension 3 dans R^{5} (voir aussi [9, p. 90], [30] et [32]). Rappelons que pour toute variété de dimension 3 compacte sans bord P, il existe une décomposition de la forme P = K_{g}^{0} ∪ K_{g}^{1}, où K_{g}^{i} sont des copies du “handlebody” de dimension 3 avec g anses d’indice 1, i = 0, 1, et K_{g}^{0} ∩ K_{g}^{1} = ∂K_{g}^{0} = ∂K_{g}^{1}. Ce type de décomposition est applé une décomposition de Heegaard de genre g de P, et la surface S = K_{g}^{0} ∩K_{g}^{1} est applée la surface de Heegaard associée. Remarquons que S est difféomorphe à Σ_{g} si P est orientable, tandis que S est difféomorphe à N_{2g} si P est non-orientable.

Corollaire 4.1. — Soit P une variété orientable (resp. non-orientable) compacte sans bord et connexe de dimension 3 qui admet une décomposition de Heegaard de genre g, et soit S la surface de Heegaard associée. En outre soit M une surface orientable (resp. non-orientable) compacte sans bord et connexe de genre g (resp. de genre non-orientable 2g) plongée dans S^{4} avec e(M) = 0. Alors il existe un plongement f : P → S^{5} = B^{5} ∪_{S^{4}} B^{5} qui est transverse à l’équateur S^{4} = ∂B^{5}, et tel que f(S) = f(P) ∩ S^{4} = M.

Démonstration. — Soit P = K_{g}^{0} ∪_{Ψ} K_{g}^{1} une décomposition de Heegaard de genre g de P et Ψ : ∂K_{g}^{1} → ∂K_{g}^{0} un difféomorphisme de recollement. D’après [19, §2] par exemple, la variété P de dimension 3 admet une structure Pin^{−}. Fixons une telle structure sur P. Remarquons que la structure Pin^{−} induite sur la surface de Heegaard S est d’invariant de Brown nul. Donc il existe un difféomorphisme φ : M → S = ∂K_{g}^{0} qui est compatible avec leurs structures Pin^{−} (voir la démonstration du Corollaire 2.5).

Remarquons aussi que le difféomorphisme Ψ est compatible avec les structures Pin^{−} induites sur K_{g}^{0} et K_{g}^{1}.

Par le Théorème 2.3, il existe deux plongements f_{i} : K_{g}^{i} → B_{i}^{5}, i = 0, 1, tels que f_{i}(∂K_{g}^{i}) coïncident avec M pour i = 0, 1, f_{0}|_{∂K_{g}^{0}} = φ^{−1} et f_{1}|_{∂K_{g}^{1}} = φ^{−1} ∘ Ψ, où B_{i}^{5} sont des copies de B^{5}, i = 0, 1. Alors la composition f_{0}^{−1} ∘ f_{1}|_{∂K_{g}^{1}} coïncide avec Ψ. En outre nous pouvons supposer que f_{i}(K_{g}^{i}) est transverse à ∂B_{i}^{5} et que f_{i}(K_{g}^{i}) ∩ ∂B_{i}^{5} = f_{i}(∂K_{g}^{i}), i = 0, 1. Ainsi le plongement obtenu en collant f_{0} et f_{1} le long du bord est le plongement f désiré de P dans B_{0}^{5} ∪_{S^{4}} B_{1}^{5} = S^{5}.

Comme toute variété compacte sans bord de dimension 3 admet au moins une décomposition de Heegaard, on a

Corollaire 4.2 (Rohlin [26], Wall [30]). — Toute variété compacte sans bord de dimension 3 se plonge dans R^{5}.

On a aussi

Corollaire 4.3. — Soit P une variété compacte sans bord et connexe de dimension 3 qui admet une décomposition de Heegaard de genre g. Alors on peut plonger P dans S^{5} = B^{5} ∪_{S^{4}} B^{5} de telle sorte que P ∩ S^{4} = P ∩ ∂B^{5} soit un “handlebody” de dimension 3 avec g anses de la décomposition de Heegaard.

Démonstration. — On modifie la démonstration du Corollaire 4.1 de la manière suivante. Considérons un “handlebody” K_{g} trivialement plongé dans S^{4} et posons M = ∂K_{g}. On munit K_{g} de la structure Pin^{−} induite par celle de S^{4}. Il existe un difféomorphisme φ′ : K_{g} → K_{g}^{0} qui est compatible avec leurs structures Pin^{−}, ceci parce que le groupe des difféomorphismes de K_{g} agit transitivement sur les structures Pin^{−}. Posons φ = φ′|_{M} : M → ∂K_{g}^{0}. Alors le plongement obtenu en collant (φ′)^{−1} : K_{g}^{0} → K_{g} ⊂ S^{4} et f_{1} : K_{g}^{1} → B_{1}^{5} le long du bord est le plongement désiré de P dans B_{0}^{5} ∪_{S^{4}} B_{1}^{5} = S^{5}, où f_{1} est le plongement construit comme dans la démonstration du Corollaire 4.1.

Remarque 4.4. — En appliquant la Remarque 2.8, on peut montrer l’affirmation suivante. Soit P une variété compacte sans bord et connexe de dimension 3 et P = Z_{0}∪ Z_{1} une décomposition en deux sous-variétés compactes et connexes de codimension 0 telle que S = Z_{0} ∩ Z_{1} = ∂Z_{0} = ∂Z_{1} soit une surface connexe.

Pour un plongement ψ : S ↪ S^{4}, les deux conditions ci-dessous sont équivalentes.

(1) Il existe un plongement Ψ : P → S^{5} = B_{0}^{5}∪_{S^{4}} B_{1}^{5} qui est transverse à l’équateur S^{4} = B_{0}^{5} ∩ B_{1}^{5} tel que Ψ|_{S} = ψ et Ψ^{−1}(B_{i}^{5}) = Z_{i}, i = 0, 1.

(2) Le difféomorphisme ψ : S → ψ(S) = M est Pin^{−} compatible, i.e. la sturcture Pin^{−} induite par ψ sur S s’étend sur Z_{0} et Z_{1}, et le nombre d’Euler du fibré normal de M = ψ(S) est nul.

De plus, même si le difféomorphisme ψ : S → M n’est pas Pin^{−} compatible, on peut choisir un difféomorphisme h : S → S tel que ψ ∘ h soit Pin^{−} compatible.

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12 mars 2004 Vincent Blanlœil, Département de Mathématiques, Université Louis Pasteur Strasbourg I, 7, rue

René Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France • E-mail : blanloeil@math.u-strasbg.fr Osamu Saeki, Faculty of Mathematics, Kyushu University, Hakozaki, Fukuoka 812-8581, Japan

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