Concordance des nœuds de dimension 4

Vincent Blanlœil^{a} Osamu Saeki^{b}

aDépartement de Mathématiques, Université Louis Pasteur Strasbourg I, 7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg, France bFaculty of Mathematics, Kyushu University, Hakozaki, Fukuoka 812-8581, Japan

Résumé

Nous démontrons que tous les plongements d’une variété compacte sans bord et simplement connexe de dimension quatre dans la sphère de dimension six sont concordants. Pour citer cet article : V. Blanlœil, O. Saeki, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I ? ? ? (2004).

1. Introduction

Dans cette note nous démontrons que tous les plongements dans S^{6} d’une variété de dimension 4 compacte sans bord et simplement connexe sont concordants et donc cobordants.

Ce résultat complète l’étude de la concordance et du cobordisme des nœuds de dimension paire (i.e. les plongements de variétés compactes sans bord de dimension 2n et (n − 1)-connexes dans des sphères de dimension 2n + 2). En effet Kervaire [6] a tout d’abord démontré que le groupe de cobordisme des nœuds sphériques (i.e. les plongements de 2n-sphères dans des sphères de codimension 2) est trivial, et que le groupe de concordance correspondant, de dimension 2n, est isomorphe au groupe des classes de h-cobordisme des sphères d’homotopie de dimension 2n+1 quotienté par le sous-groupe formé des classes représentées par des sphères d’homotopie qui bordent une variété parallélisable. Ensuite dans [10,11] on trouve une généralisation de ce résultat au monoïde commutatif des classes de cobordisme des plongements de variétés de dimension 2n dans S^{2n+2} avec n ≥ 3, qui sont compactes sans bord et (n − 1)-connexes. Enfin dans [2] nous avons démontré que les classes de concordance des plongements dans S^{4} d’une surface compacte sans bord et connexe, sont caractérisées par leur structure Pin^{−} et leur nombre d’Euler du fibré normal. En particulier, deux telles surfaces plongées dans S^{4} sont cobordantes si et seulement si elles sont homéomorphes abstraitement et les nombres d’Euler de leur fibré normal coïncident.

Nous nous plaçons dans la catégorie des variétés différentiables C^{∞}, rappelons Définition 1.1 Soit M une variété compacte sans bord de dimension n et soient f_{i} : M → S^{n+2}, i = 0, 1, deux plongements.

  Email addresses: blanloeil@math.u-strasbg.fr (Vincent Blanlœil), saeki@math.kyushu-u.ac.jp (Osamu Saeki).

Preprint submitted to Elsevier Science 14 juin 2004

(1) On dit que f_{0} et f_{1} sont concordants s’il existe un plongement propre Φ : M ×[0, 1] → S^{n+2} ×[0, 1] tel que Φ|_{M×{i}} = f_{i} : M × {i} → S^{n+2} × {i}, i = 0, 1.

(2) On dit que f_{0} et f_{1} sont cobordants s’il existe un difféomorphisme h : M → M telle que f_{0} ∘ h et f_{1} sont concordants.

2. Énoncés et démonstrations

Nous allons démontrer Théorème 2.1 Soit M une variété compacte sans bord de dimension 4 simplement connexe. Alors tous les plongements de M dans S^{6} sont concordants, et donc cobordants.

Démonstration. Soient f_{i} : M → S^{6} × {i}, i = 0, 1, deux plongements. Notons K_{i} = f(M_{i}) pour i = 0, 1. Étant choisie une orientation pour M on oriente les sous-variétés K_{i} de S^{6} × {i} de telle sorte que les f_{i} préservent les orientations pour i = 0, 1.

Soient V_{i} des sous-variétés compactes et orientées de dimension 5 de S^{6} × {i} telles que ∂V_{i} = K_{i} pour i = 0, 1 (c.f. [4]). Notons V = V_{0}♯V_{1} la somme connexe orientée, en dehors du bord, de V_{0} et de V_{1} dans S^{6} × [0, 1].

Soit W la variété compacte sans bord de dimension 5 obtenue en recollant V et M × [0, 1], où ∂V = ∂V_{0} ∪ ∂V_{1} et M × {0, 1} sont identifiés par f_{i} : M × {i} → ∂V_{i}, i = 0, 1. Les sous-variétés V_{0} et V_{1} de S^{6} sont munies de structures spin naturelles induites par celle de S^{6}, de plus comme M est simplement connexe W est aussi une variété spin.

Comme le groupe de cobordisme des variétés spin de dimension 5 est trivial (c.f. [7], par exemple), il existe une variété spin X compacte de dimension 6 telle que ∂X = W en tant que variétés spin. De plus on peut construire X par des attachements d’anses sur V × [0, 1] le long de V × {1}.

Toute 5-anse est duale d’une 1-anse. À l’aide de la réduction de Wallace (c.f. [13, §6]) on peut remplacer les 1-anses duales par des 2-anses, et donc remplacer les 5-anses par des 4-anses duales des 2-anses ajoutées. Ces modifications sont faites en effectuant des chirurgies spin sur X sans modifier ∂X, ceci étant possible puisque toutes les variétés sont orientables et M × [0, 1] est connexe. Ainsi on obtient une décomposition de X sans 5-anse.

Considérons maintenant une 4-anse dans cette décomposition sans 5-anse, cette 4-anse est duale d’une 2-anse. Du fait que M × [0, 1] est simplement connexe, le cercle d’attachement de cette 2-anse duale est trivial. De plus comme X est une variété spin, attacher une 2-anse revient à faire une somme connexe le long du bord avec un S^{2}×D^{4}. En utilisant à nouveau la réduction de Wallace on peut donc remplacer cette 2-anse duale par une 3-anse duale, donc par une 3-anse. Finalement on peut supposer que la décomposition en anse de X ne comporte pas d’anse d’indices 4 et 5.

La variété V × [0, 1] est stablement parallélisable, de plus comme X est spin la variété obtenue par attachement des anses d’indices 1 et 2 à V ×[0, 1] est elle aussi stablement parllélisable. La nulité du groupe π_{2}(SO) prouve alors qu’après l’attachement des 3-anses la variété X est encore stablement parallélisable.

Comme dans [6] en effectuant les chirurgies plongées qui correspondent aux attachements des anses d’indices 1, 2 et 3 sur V ×[0, 1], nous pouvons plonger X dans S^{6} ×[0, 1] de telle sorte que V ×{0} corresponde à la variété V du départ. La restriction de ce plongement à M × [0, 1] donne alors la concordance désirée entre f_{0} et f_{1}. □ Remarque 1 D’après Cappell–Shaneson [3] (voir aussi [9]) une variété M compacte et orientée de dimension 4 sans bord se plonge dans S^{6} si et seulement si M est spin et sa signature est nulle. Si de plus M est simplement connexe, alors elle se plonge dans S^{6} si et seulement si elle est homéomorphe à la somme connexe de S^{2} × S^{2} d’après Freedman [5]. Remarque 2 D’après Park [8], pour des nombres impairs m suffisamment grands, il existe une infinité de variétés de classe C^{∞} qui sont toutes homéomorphes à la somme connexe de m copies de S^{2} × S^{2}, mais qui ne sont pas difféomorphes deux à deux. Notons C̃_{4} le monoïde commutatif des classes de cobordisme des variétés de dimension 4 simplement connexes plongées dans S^{6}, et Z_{≥0} le monoïde commutatif des entiers positifs. Alors l’homomorphisme φ : C̃_{4} → Z_{≥0} qui à une variété plongée associe la moitié du second nombre de Betti est un épimorphisme. Le résultat de Park cité ci-dessus montre que cet homomorphisme est loin d’être un isomorphisme, comparer aussi avec le résultat de Vogt [10,11] dans lequel l’homomorphisme C̃_{2n} → Z_{≥0} correspondant pour n ≥ 3 est un isomorphisme, où C̃_{2n} désigne le monoïde commutatif des classes de cobordisme des variétés compactes sans bord de dimension 2n et (n − 1)-connexes plongées dans S^{2n+2}.

Remarquons de plus que pour les plongements de deux variétés de Park dans S^{6}, on peut néanmoins trouver un h-cobordisme plongé dans S^{6}×[0, 1] entre leurs images. Ceci se démontre comme le Théorème 2.1 mais en remplaçant M × [0, 1] par un h-cobordisme arbitraire, qui existe par un résultat classique de Wall [12].

Comme corollaire on a Corollaire 2.2 Soit M une variété de dimension 4 compacte sans bord et simplement connexe plongée dans S^{6}. Alors il existe une variété compacte V de dimension 5 proprement plongée dans B^{7} telle que ∂V = M ⊂ S^{6} = ∂B^{7} et telle que V a le type d’homotopie d’un bouquet de sphères de dimension 2.

Démonstration. Soit M′ la somme connexe des copies de S^{2} × S^{2} qui est homéomorphe à M. On peut supposer que M′ est plongée dans S^{6} de telle sorte qu’elle borde la somme connexe (le long du bord) V′ des copies de S^{2} × D^{3} plongée dans S^{6}. Alors l’union d’un h-cobordisme plongé dans S^{6} × [0, 1] entre M′ et M, et V′ donne la variété V désirée plongée dans S^{6} × [0, 1] ⊂ B^{7}. □

Comme dans [2], ce résultat peut être appliqué à la réalisation d’une décomposition (du type de Heegaard) d’une variété de dimension 5 spin compacte sans bord et simplement connexe dans S^{7} = B^{7} ∪ B^{7} (c.f. [1]).

En effet, toute variété P compacte sans bord de dimension 5 simplement connexe et spin se décompose comme P = H_{1} ∪ H_{2}, où H_{1} ≅ H_{2} est la somme connexe le long du bord d’un certain nombre de copies de S^{2} × D^{3} (c.f. [1]). Désignons par S la variété ∂H_{1} = ∂H_{2} de dimension 4 où H_{1} et H_{2} sont recollées. Soit S^{7} = B_{1}^{7} ∪_{S^{6}} B_{2}^{7} la décomposition usuelle de S^{7}. Alors, on a Corollaire 2.3 Soient P = H_{1} ∪ H_{2} et S comme ci-dessus. Alors pour un plongement ψ : S → S^{6} quelconque, il existe un plongement Ψ : P → S^{7} = B_{1}^{7} ∪_{S^{6}} B_{2}^{7} qui est transverse à l’équateur S^{6} = B_{1}^{7} ∩B_{2}^{7} tel que Ψ|_{S} = ψ et Ψ^{−1}(B_{i}^{7}) = H_{i}, i = 1, 2.

Références

[1] D. Barden, Simply connected five-manifolds, Ann. of Math. (2) 82 (1965), 365–385.

[2] V. Blanlœil et O. Saeki, Cobordisme des surfaces plongées dans S^{4}, preprint.

[3] S. Cappell et J. Shaneson, Embeddings and immersions of four-dimensional manifolds in R^{6}, Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 301–303, Academic Press, New York, London, 1979.

[4] D. Erle, Quadratische Formen als Invarianten von Einbettungen der Kodimension 2, Topology 8 (1969), 99–114.

[5] M. Freedman, The topology of four-dimensional manifolds, J. Diff. Geom. 17 (1982), 357–453.

[6] M. A. Kervaire, Les nœuds de dimensions supérieures, Bull. Soc. Math. France 93 (1965), 225–271.

[7] J. Milnor, Spin structures on manifolds, Enseignement Math. (2) 9 (1963), 198–203.

[8] J. Park, The geography of Spin symplectic 4-manifolds, Math. Z. 240 (2002), 405–421.

[9] D. Ruberman, Imbedding four-manifolds and slicing links, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 91 (1982), 107–110.

[10] R. Vogt, Cobordismus von Knoten, “Knot theory” (Proc. Sem., Plans-sur-Bex, 1977), pp. 218–226, Lecture Notes in Math., Vol. 685, Springer-Verlag, Berlin, 1978.

[11] R. Vogt, Cobordismus von hochzusammenhängenden Knoten, Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität, Bonn, 1978, Bonner Mathematische Schriften, 116, Universität Bonn, Mathematisches Institut, Bonn, 1980.

[12] C. T. C. Wall, On simply-connected 4-manifolds, J. London Math. Soc. 39 (1964), 141–149.

[13] A. H. Wallace, Modifications and cobounding manifolds, Canad. J. Math. 12 (1960), 503–528.